Question

На одной стороне угла с вершиной в точке О (рис. 151) обозначены точки A i В, а на второй - точки С i D так, что ОА = ОС, AB = CD. Докажите, что луч ОМ является 6iсектрисою угла BOD, где М - точка пересечения отрезков AD i ВС.

Answer 1

ответ:

Доказательство:
Рассмотрим ΔОВС i ΔODA.
1) ОС = ОА (по условию)
2) ОВ = ОА + АВ, OD = ОС + CD, т. К.
ОА = ОС i АВ - СD, то OB = OD;
3) ∟O - общий.
Итак, ΔОВС = ΔODA за I признаку.
Рассмотрим ΔАМВ i ΔCMD.
1) АВ = CD (по условию)
2) ∟ABM = ∟CDM (т. К. ΔОВС = ΔODA)
3) ∟BAM = ∟BCM (как смежные с равными углами ΔDAM = ΔОСМ, т. К.
ΔОВС = ΔODA).
Итак, ΔАМВ = ΔCMD за II признаку.
Рассмотрим ΔАОМ i ΔСОМ.
1) ОА = ОС (по условию)
2) ∟ОАМ = ∟ОСМ (т. К. ΔОВС = ΔODA)
3) AM = СМ (т. К. ΔАМВ = ΔCMD).
Итак, ΔАОМ = ΔСОМ за I признаку, из этого следует, что ∟АОМ = ∟СОМ.
Это означает, что ОМ является 6исектрисою ∟BOD.