Question

На доске записаны числа 1, 2, 3, ..., 10. За один шаг разрешается, выбрав два числа, к каждому из них добавить 5 или от каждого отнять 1. Можно ли с помощью этих операций добиться того, чтобы все числа, записанные на доске, оказались равными?

Answer 1

ответ:

Сумма всех чисел от 1 до 10 равна 55. Предположим, что удалось в результате описанных в задаче манипуляций сделать все числа равны. Тогда сумма всех чисел должна равняться 10х, где х - некое целое чисто результате добавления к избранному цифр по 5 сумма чисел увеличится на 2 • 5 = 10, а в результате вычитания из двух выбранных чисел по 1 сумма цифр уменьшится на 2 • 1 = 2. То есть в обоих случаях сумма чисел увеличивается или уменьшается на четное число и должен быть равен нечетному числу. А число 10х - четное. Поэтому добиться равенства всех чисел невозможно.