Question

Точки А и B лежат по одну сторону от прямой а. Постройте точку М прямой а так, чтобы сумма AM + MB имела наименьшее значение, т.е. была бы меньше суммы АХ + ХB, где X — любая точка прямой а, отличная от М

Answer 1

Решение. Построим отрезок АА\ так, чтобы данная прямая а проходила через его середину и была перпендикулярна к нему (рис.227). Тогда каждая точка X прямой а равноудалена от точек А и А\, то есть АХ = А\Х (см. задачу 160). Проведем прямую А\В. Она пересечет прямую а в некоторой точке М (так как точки В и А\ лежат по разные стороны от прямой а). Точка М — искомая. Действительно, пусть X — произвольная точка прямой а, отличная от точки М. Тогда А\, X и В не лежат на одной прямой и, следовательно, А\Х + ХВ > А\В (неравенство треугольника).
Но АХВ = АХМ + MB = AM + MB, AXX = АХ, поэтому
AM + MB < AX + ХВ.