Question

В треугольнике ABC высота АА1 не меньше стороны ВС, а высота ВВ1 не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный и прямоугольный

Answer 1

Решение. Имеем: АА\ ^ ВС (рис.223, а). С другой стороны, поскольку гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катета, то АС ^ АА\, причем знак равенства возможен только в том случае, когда точки А\ и С совпадают. Итак, АС ^ АА\ ^ ВС, причем знак равенства возможен только в том случае, когда точки А\ и С совпадают.
Аналогично получаем: ВС ^ ВВ\ ^ АС, причем знак равенства возможен только в том случае, когда точки В\ и С совпадают.
Неравенства АС ^ ВС и ВС ^ АС выполняются одновременно только тогда, когда АС = ВС. Поэтому из условия задачи следует, что АС = АА\ = ВС = ВВ\, причем точки А\, В\ и С совпадают. Но это и означает, что треугольник ABC — равнобедренный, а его угол С — прямой (рис.223, б).