Question

Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины, пополам

Answer 1

Решение. Пусть AD, AM и АН — биссектриса, медиана и высота треугольника ABC с прямым углом А (рис.221). Из утверждения, сформулированного в задаче 336, следует, что AM = ВМ. В самом деле, если AM < ВМ, то угол А тупой, а если AM > ВМ, то этот угол острый. И то и другое противоречит условию задачи, поэтому AM = ВМ.
Треугольник АВМ равнобедренный, поэтому углы при его основании АВ равны. В треугольнике ABC углы В и С составляют в сумме 90°, а в треугольнике АСН углы А и С составляют в сумме 90°. Следовательно, АСАН = ZMBA = ZBAM.
Биссектриса AD делит пополам угол ВАС, следовательно, она делит пополам и угол МАН.