Question

Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит по крайней мере еще одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку

Answer 1

Решение. Пусть а1 и а2 — две из данных шести прямых — пересекаются в точке А.
По условию задачи через точку А проходит по крайней мере еще одна из данных прямых, которую обозначим а3 (рис.39). Докажем, что оставшиеся три прямые также проходят через точку А.
Допустим, что какая-то из них, например, прямая сц, не проходит через эту точку. Прямая сц по условию задачи пересекает каждую из прямыхa1 a2 a3. Обозначим точки пересечения буквами А\, A<i, А3 (см. рис.39).
Точки А\, А^, Ао, и А попарно различны, и по условию задачи через каждую из точек А1, А2, А3 должна проходить по крайней мере еще одна из данных прямых, отличная от a1 a2 a3 a4 Но это невозможно, так как даны всего шесть прямых.
Мы пришли к противоречию, поэтому наше предположение неверно и, следовательно, все данные прямые проходят через точку А.