Решение. Докажем сначала, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника. Воспользуемся методом доказательства от противного. Рассмотрим треугольник ABC с тупым углом А и допустим, что основание его высоты АН не лежит на стороне ВС. Пусть, например, оно лежит на продолжении стороны ВС за точку В (рис. 191). Поскольку в прямоугольном треугольнике АВН угол В острый, то смежный с ним угол ABC тупой. Следовательно, в треугольнике ABC два тупых угла: А и В, чего не может быть. Это означает, что наше предположение неверно — точка Н не может лежать на продолжении стороны ВС за точку В. Аналогично доказывается, что точка Н не может лежать на продолжении стороны ВС за точку С, а значит, она лежит на стороне ВС.
Докажем теперь, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины острого угла, лежит на продолжении стороны треугольника. Вновь воспользуемся методом доказательства от противного. Рассмотрим треугольник ABC с тупым углом В и допустим, что основание его высоты АН лежит на стороне ВС (рис. 192). Тогда окажется, что в прямоугольном треугольнике АВН угол В — тупой, чего не может быть. Это означает, что наше предположение неверно — точка Н не может лежать на стороне ВС, а значит, она лежит на продолжении этой стороны.
