Question

Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой, параллельной данной

Answer 1

Решение. Пусть а — данная прямая, А — одна из тех точек, о которых идет речь в условии задачи, d — расстояние от точки А до прямой а. Проведем через точку А прямую Ъ, параллельную прямой а (рис. 176). Требуется доказать, что если точки А и В лежат по одну сторону от прямой а, причем точка В не лежит на прямой Ъ, то расстояние от точки В до прямой а не равно d. Докажем это.
Проведем через точку В прямую, перпендикулярную к а, и обозначим буквами Н и К точки пересечения этой прямой с прямыми а и Ь соответственно. По теореме п. 37 КН = d, а поскольку точки В и К не совпадают (точка В не лежит на прямой Ь), то ВН ф d. Но это и означает, что расстояние от точки В до прямой а не равно d.