Question

Через точку пересечения биссектрис ВВ1 и СС1 треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны AB и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что MN =ВМ + CN

Answer 1

Решение. Пусть точка О — точка пересечения биссектрис ВВ\ и СС\ (рис. 157). Углы ВОМ и С ВО равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых ОМ и ВС секущей ВО. Следовательно, в треугольнике ВОМ АВ = АО, а значит, ОМ = ВМ.
Углы NOC и ОСВ равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых ON и ВС секущей СО. Следовательно, в треугольнике CON ZC = ZO, а значит, ON = CN.

Итак, ОМ = ВМ, ON = CN. Поэтому
MN = ОМ + ON = ВМ + CN.