Question

Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведенные к прямой b, равны. Точка О — середина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM; б) найдите ∠NOM, если ∠MOP = 105°

Answer 1

Решение, a) AM NO = APQO по первому признаку равенства треугольников: MN = PQ по условию; QO = NO,   так как точка О - середина NQ; ZMNO = ZPQO = 90°, так   как MN _L Ъ и PQ _L Ъ (рис.51). Отсюда следует, что ОМ = ОР.   Поэтому треугольник ОМР — равнобедренный и, следовательно,  углы при его основании равны:
ZOMP = ZOPM.

б) Из равенства треугольников MN0 и PQO следует, что
ZNOM = ZQOP.
Углы N0M, МОР и QOP составляют развернутый угол, поэтому ZNOM + ZMOP + ZQOP = 180°,
или откуда
2Z7VOM+ 105° = 180°
ZNOM = 1/2 (180° - 105°) = 37°30'.

Ответ, б) 37°30'.