Question

Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, если у него
1) медиана BD является высотой;
2) высота BD является биссектрисой;
3) биссектриса BD является медианой.

Answer 1

1) Если BD — медиана и высота, то AD = DC, ZADB = Z.CDB = 90°, BD — общая. AABD = ACBD по двум катетам.
Откуда АВ = ВС, таким образом, ААВС — равнобедренный.
2) Если BD — высота и биссектриса, то AABD = ADBC, ZADB = ZBDC, BD — общая. AABD = ACBD по 2катету и двум прилежащим углам.
Откуда АВ = ВС, таким образом, ААВС — равнобедренный.
3) Если BD — биссектриса и медиана: Продлим BD до точки В\, так, что BD = DB\. В AABD и ACDBX:
AD = DC (т.к. BD — медиана)
BD = DBx
ZADB = ZCDBi (из построения, как вертикальные).
Таким образом, AABD = ACDB\ по 1-му признаку равенства треугольников.
Откуда ZABD = ZCBXD, АВ = ВХС.
Аналогично AADB1 = ABDC.
ZABXD = ZDBC, ABX = ВС.
Т.к. ZABD = ZDBC (т.к. BD — биссектриса), то ZABD = ZDBC = ZABXD.
 — равнобедренный, т.к. ZABD = ZAB\D,
Таким образом, АВ = АВХ; т.к. АВХ = ВС, то АВ = ВС. Следовательно, ААВС — равнобедренный по определению.