Question

Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пересекает отрезок АВ с концами на сторонах угла, то он пересекает
1) отрезок АС с концами на сторонах угла;
2) любой отрезок CD с концами на сторонах угла.

Answer 1

1) Пусть К — точка пересечения луча с отрезком АВ. Прямая ОК пересекает отрезок АВ, следовательно, точки А и В лежат в разных полуплоскостях относительно прямой ОК. Точки В и С лежат в одной полуплоскости, так как отрезок ВС не пересекается с прямой ОК, а точки А и С лежат в разных полуплоскостях, получаем, что прямая ОК пересекает отрезок АС в некоторой точке, обозначим ее буквой Е.
Прямая ВС разбивает плоскость на две полуплоскости, в одной из которых лежит данный луч ОК и точка А (поскольку отрезок АК не пересекает прямую ОВ) и точка Е (поскольку отрезок АЕ не пересекает прямую ОВ). Значит, точка Е должна лежать на луче ОК.
 2) Пусть CD — произвольный отрезок с концами на сторонах угла, и точка С лежит на стороне ОВ, а точка D на стороне ОА. Отрезок АВ пересекает луч ОК, значит, луч ОК пересекает и отрезок А С, а если луч пересекает А С, то луч будет пересекать и отрезок CD.