Дан треугольник ABC. На стороне АС взята точка B а на стороне ВС — точка А Докажите, что отрезки AA и BB пересекаются.

Question

Дан треугольник ABC. На стороне АС взята точка В , а на стороне ВС — точка А,. Докажите, что отрезки АА1 и ВВ, пересекаются.

Answer 1

решение к задаче приложено к ответу

Answer 2

Прямая ВВ\ пересекает сторону А С в точке В\, следовательно, точки А и С располагаются в разных полуплоскостях относительно прямой ВВ\. Две прямые не могут иметь двух точек пересечения, следовательно, отрезок А\С не пересекает прямую ВВ\, и точки А\ и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВВ\.
Так как точки А\иС расположены в одной полуплоскости, а точки А и С — в разных полуплоскостях относительно прямой ВВ\, то точки А и А\ расположены в разных полуплоскостях, и следовательно отрезокЛЛ] пересекает прямую ВВ\.
Рассмотрим положение точек относительно прямой АА i. Точки В и С лежат в разных полуплоскостях, а точки В\ и С — в одной полуплоскости относительно прямой АА \. Значит, точки В и В\ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АА \ и следовательно отрезокВВХ пересекает прямую ААХ.
 Точка пересечения прямых АА\ и ВВ\ лежит и на отрезке ААь и на отрезке ВВ\, следовательно, эти отрезки пересекаются. Что и требовалось доказать.