Решение.
Так как функция спроса Q(P) = 110 - P, то функция объема продаж Q(P) = ( 110 - P ) P, а функция прибыли N(P) = ( 110 - P ) ( P - AC )
Кривые спроса
Пояснение. Функция спроса показывает количество товара, который может быть продан при данной цене. Поскольку необходимо найти сумму продаж, то полученное количество надо умножить на цену товара. То есть Сумма = Количество х Цена. Перейти от цены к прибыли (в условиях данной задачи, а не в реальной жизни, разумеется) можно вычитанием издержек. Таким образом, получаем Прибыль = Количество х Доход. Количество задано в условии задачи, а доход - это разность между ценой и издержками.
Для того, чтобы определить цену, при которой достигаются максимальная прибыль, необходимо найти экстремум функции N(P) = ( 110 - P ) ( P - AC ). См. аналогичную задачу на нахождение максимальной выручки.
Для этого определим дифференциал полученной функции суммы прибыли от цены
f(x) = ( 110 - x ) ( x - 10), или
f(x) = 110x - x2 - 1100 + 10х
f(x) = - x2 + 120x - 1100
По имеющейся таблице производных получим результат:
f '(x) = - 2x + 120
В точке максимальной прибыли функция достигнет своего экстремума. Экстремум будет в точке, в которой f ' (x) = -2x + 120 будет равна нулю. Приравняем ее значение к нулю.
-2x + 120 = 0
х = 60
Теперь определим объем производства.
Q(P) = 110 - P
Q(P) = 50
Ответ: Максимальный объем прибыли будет достигнут при цене 60 рублей с объемом производства 50 единиц .