Question

Коническая воронка, радиус основания которой R, а высота H, наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара, был максимальным?

Answer 1

Решение.
Мысленно проведем сечение через центр конуса. Данное сечение образует равнобедренный треугольник.

Если в воронке находится шар, то максимальный размер его радиуса будет равен радиусу вписанной в получившийся равнобедренный треугольник окружности.

Радиус вписанной в треугольник окружности равен:
r = S / p, где
S - площадь треугольника
p - его полупериметр

Площадь равнобедренного треугольника равна половине высоты, умноженной на основание. Но, поскольку, основание - удвоенный радиус конуса, то
S = RH

Полупериметр равен
p = 1/2 ( 2R + 2m)
m - длина каждой из равных сторон равнобедренного треугольника
R - радиус окружности,  составляющей основание конуса

m найдем по теореме Пифагора как m = √( H2 + R2 ), откуда

p = 1/2 ( 2R + 2√( H2 + R2 ) ) = R + √( H2 + R2 )