Question

Найти величину двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды если её боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов

Answer 1

Решение.
Поскольку боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды наклонены к основанию под углом 45 градусов, то в треугольнике ANC угол ANC равен 90 градусам. Таким образом, данный треугольник является прямоугольным.
Пусть длина ребра пирамиды равна а, тогда, исходя из того, что треугольник ANC - прямоугольный равнобедренный,
AC2 = NC2 + AN2
AC2 = 2a2   
AC = a√2
откуда
OC = AC / 2   
OC =  a√2/2    
найдем высоту пирамиды NO:  
NO = √(NC2 - OC2 )
NO = √( a2 - a2/2)
NO = a/√2
Рассмотрим прямоугольный треугольник COD и аналогичным способом найдем его высоту CK
CD2 = OC2 + OD2  
CD2 = ( a√2/2 )2  +  ( a√2/2 )2
CD = a
Откуда
KC = CD / 2
KC = a / 2

OK2 = OC2 - KC 2
OK = a/2   
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник KON. Так как он прямоугольный, то
tg ∠NKO = NO / OK
tg ∠NKO = (  a/√2  ) / ( a / 2 )   
tg ∠NKO =   2/√2
откуда
∠NKO =  arctg( 2/√2 ) ≈ 54,7356°
Ответ:  arctg( 2/√2 ) ≈ 54,7356°