Решение.
Пусть нам дана правильная пирамида с треугольником ABC в основании и вершиной K
Правильная треугольная пирамида с обозначенной высотой боковой грани
Из вершины К опустим высоту, которая пересечет основание в точке О.
Из вершины бокового ребра опустим высоту KN.
По условию задачи, отрезок OM равен √7.
Поскольку KO - высота, то треугольник KON - прямоугольный, а OM -является медианой прямоугольного треугольника.
Согласно свойствам прямоугольного треугольника, его медиана, опущенная на гипотенузу, равна радиусу описанной окружности и, одновременно, половине гипотенузы.
Таким образом:
OM = ON = √7
Соответственно, высота ребра равна 2√7
Поскольку угол ONM = 60º, а треугольник KON - прямоугольный, то
ON / KN = cos 60
По таблице значений тригонометрический функций найдем значение косинуса 60 градусов. Он равен 1/2.
Откуда
OK = KN x cos 60 = 2√7 x 1/2 = √7
Вписанный в данную пирамиду конус будет иметь длину образующей, равной высоте ребра пирамиды, а радиус, равный радиусу вписанной окружности.
Соответственно, площадь боковой поверхности конуса равна:
S = πRl
S = π * √7 * 2√7 = 14π
Ответ: площадь боковой поверхности конуса, вписанного в заданную пирамиду, равна 14π