Question

Сторона правильной треугольной пирамиды равна 3 см а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды

Answer 1

Решение.
Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник. Поэтому площадь основания равна  
Формула нахождения площади равностороннего треугольника
So =   9 * √3/4    
Правильная пирамида

Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.  
Таким образом:
OK / MK = cos 45
Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения.  

OK / MK = √2/2

Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности.

Тогда (по таблице соотношений в правильном треугольнике)
OK = √3/6 a
 OK = √3/6 * 3 =   √3/2    

Тогда
OK / MK = √2/2
√3/2 / MK = √2/2
MK =   √3/√2

Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника.
  Sбок = 1/2 * 3√( 3/2 )  
Откуда площадь полной поверхности будет равна  
S =   9√3/4 + 3/2 √( 3/2 )