Question

Основанием прямой призмы ABCD A1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 4 см и 4√3 см и углом, равным 30 градусов. Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 60 градусов. Найдите площадь боковой поверхности призмы

Answer 1

Решение.
Поскольку сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, то углы B и D. будут равны 180 - 30 = 150 градусов.
Диагональ параллелограмма AC, таким образом, образует треугольник ACD с углом C равным 150 градусов.
Применим теорему косинусов, при этом обозначив диагональ параллелограмма как d, а  стороны параллелограмма как a и b. Учтем, что косинус 150 градусов равен cos( 150° ) = -√3 / 2. Получим:
d2 = a2 + b2 - 2abcos( 150° )
d2 = 16 + 48 - 2 * 4 * 4√3 * ( -√3 / 2 ) = 112   
d = 4√7
AC =  4√7   

Зная величину диагонали параллелограмма, найдем высоту параллелограмма. Треугольник, который образует диагональ AC1 ( AC1С ) с основанием призмы, согласно условию задачи (призма - прямая) является прямоугольным. Угол ∠C1AC по условию равен 60 градусов. Для прямоугольного треугольника тангенс угла ∠C1AC равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть tg ( ∠C1AC ) = C1С / AC . Учтем, что тангенс 60 градусов равен tg 60° = √3.
Соответственно, C1С =  AC tg ( ∠C1AC )
C1С = 4√7 * tg 60°
C1С = 4√21

Зная высоту призмы, определим площадь ее боковой поверхности:
S = 2ha + 2hb
S = 2 * 4 √21 * 4 √3 + 2 * 4 √21 * 4 = 96√7 + 16√21 ≈ 327,31   

Ответ: 96√7 + 16√21 ≈ 327,31