Question

В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D, такая, что BD:BA=1:3. Плоскость, параллельная прямой AC и проходящая через точку D, пересекает отрезок BC в точке D1.  Докажите, что треугольник DBD1 подобен треугольнику ABC

Answer 1

Решение.

Для доказательства воспользуемся теоремой Фалеса: "Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки".

Поскольку плоскость, проходящая через точку D, которая пересекает отрезок BC в точке D1 параллельна прямой AC, то прямая DD1 принадлежащая этой плоскости, также параллельна прямой AC.

Согласно теореме Фалеса, "Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки". То есть:

BD / AD = BD1 / D1C

Согласно второму признаку подобия треугольников "Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны".
В данном случае угол В у треугольников DBD1 и треугольника ABC является общим. Таким образом, треугольники подобны.