Решение.
Поскольку размеры сторон треугольника нам неизвестны, то для решения задачи будем считать, что длины сторон соответственно равны произвольным числам a, b, c. Тогда для того, чтобы ответить на вопрос задачи, найдем площадь данного треугольника, а потом найдем площадь треугольника, стороны которого в четыре раза больше. Соотношение площадей этих треугольников и даст нам ответ на задачу.
Далее приведем текстовое пояснение решения задачи по шагам. Однако, в самом конце, это же самое решение приведено в более удобном для восприятия графическом виде. Желающие могут сразу опуститься в низ решения.
Для решения используем формулу Герона (см. выше в теоретической части урока). Выглядит она следующим образом:
S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) )
(см. первую строку рисунка внизу)
Длины сторон произвольного треугольника заданы переменными a, b, c.
Если стороны увеличить в 4 раза, то площадь нового треугольника с составит:
S2 = 1/4 sqrt( ( 4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c) )
(см. вторую строку на рисунке внизу)
Как видно, 4 - общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений по общим правилам математики.
Тогда
S2 = 1/4 sqrt( 4 * 4 * 4 * 4 ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) - на третьей строке рисунка
S2 = 1/4 sqrt( 256 ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) - четвертая строка
Из числа 256 прекрасно извлекается квадратный корень, поэтому вынесем его из-под корня
S2 = 16 * 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) )
S2 = 4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) )
(см. пятую строку рисунка внизу)
Чтобы ответить на вопрос, заданный в задаче, нам достаточно разделить площадь получившегося треугольника, на площадь первоначального.
Определим соотношения площадей, разделив выражения друг на друга и сократив получившуюся дробь.
S2 / S = 16
(см. внизу подробнее запись в виде дроби и ее сокращения - в последней строке)
На рисунке логика вычисления решения, описанного выше, приведена уже в виде формул (одна за другой)
4/1/4=16
Ответ: Площадь треугольника увеличится в 16 раз