Question

На шахматной доске 8×8 стоит 31 пешка. Доказать, что найдется уголок из трех клеток, на котором не стоит пешка.

Answer 1

1 шаг. Доска очень большая. Уменьшим ее до размеров 2 х 2 и прикинем, сколько там должно быть пешек, чтобы задача имела решение. Таким образом, сформулирована похожая задача: На шахматной доске 2×2 стоит 1 пешка. Доказать, что найдется уголок, склеенный из трех клеток, на котором не стоит пешка. Доказательство сводится к элементарному перебору четырех вариантов.

2 шаг. Попробуем найти на большой доске маленькую с одной пешкой. Для этого разобьем большую доску на кусочки размером 2×2. Таких кусочков будет 16. А пешек 31.

Окончательное решение. Если в каждый квадратик размером 2×2 мы будем ставить по 2 пешки, то их не хватит, т. к. всего тогда понадобится 32 пешки. В один из таких квадратиков придется поставить всего 1 пешку. А это сразу обеспечит существование искомого варианта с трехклеточным пустым уголком.