Question

Доказать неравенство M[X-(xi+xk)/2]2?D(X), где xi и xk – любые два возможных значения случайной величины X.

Answer 1

Решение.
1) Допустим, что (xi+xk)/2=M(X). Тогда
M[X-(xi+xk)/2]2=D(X). (*)
2) Допустим, что -(xi+xk)/2?M(X). Докажем, что в этом случае
M[X-(xi+xk)/2]2>D(X)
Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства математического ожидания:
M[X-(xi+xk)/2]2=M(X2)-2(xi+xk)/2 * M(X)+ [(xi+xk)/2]2.
Вычитая и прибавляя [M(X)]2 в правой части равенства, получим
M[X-(xi+xk)/2]2=D(X)+ [M(X)-(xi+xk)/2]2>D(X). (**)
Объединяя (*) и (**), окончательно имеем
M[X-(xi+xk)/2]2?D(X).