Question

Показать, что формулу Пуассона, определяющую вероятность появления k событий за время длительностью t
Pt(k)=( ?t)k*e-?t/k! (*)
Можно рассматривать как математическую модель простейшего потока событий; другими словами, показать, что формула Пуассона отражает все свойства простейшего потока.

Answer 1

Решение.
Из формулы (*) видно, что вероятность появления k событий за время длительностью t, при заданной интенсивности ?, является функцией только k и t, что отражает свойство стационарности простейшего потока.
Формула (*) не использует информации о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка времени, что отражает свойство отсутствия последействия.
Покажем, что формула отражает свойство ординарности. Положив k=0 и k=1, найдем вероятность непоявления событий и вероятность появления одного события:
Pt(0)= e-?t, Pt(1)= ?te-?t.
Следовательно, вероятность появления более одного события
Pt(k>1)=1-[ Pt(0)+ Pt(1)]=1-[e-?t+ ?te-?t]
Используя разложение функции e-?t в ряд Маклорена, после элементарных преобразований получим
Pt(k>1)=(?t)2/2+… .
Сравнивая Pt (1) и Pt(k>1), получаем, что при малых значениях t вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события, что отражает свойство ординарности.
Ч. Т. Д.