Решение
Обозначим чистые стратегии предприятий А и В через А1, А2, А3, и В1, В2, В3 соответственно. Предположим, что предприятие А располагает общей суммой а т.р., отпускаемой на строительство трех объектов. Аналогично и предприятие В имеет сумму в в т.р., отпускаемую на строительство тех же трех объектов. Тогда чистая стратегия А1 – это выделение т.р. предприятием А на строительство первого объекта; А2 – чистая стратегия предприятия А, которое выделяет сумму а2 т.р. на строительство второго объекта; А3 – чистая стратегия предприятия А, которое выделяет сумму т.р. на строительство третьего объекта. При этом a=a1+a2+a3.
Аналогично определяются чистые стратегии и для предприятия B.
Проверим игру на наличие седловой точки:
поэтому решение игры определяем в смешанных стратегиях. Цена игры заключена между нижней и верхней ценами, т.е. 25 40.
Составим задачу линейного программирования для каждого игрока.
Для игрока А:
Min f x1+x2+x3
50x1+25x2+10x3 ≥ 1
15x1+30x2+30x3 ≥1
20x2+30x2+60x3 ≥1
x ≥0 i-1,2,3
Для игрока В:
Nin f= y1+y2+y3
50y1+15y2+20y3 ≤1
25y1+40y2+30y3 ≤1
10y1+30y3+60y3 ≤1
y ≥0 i-1,2,3
Введя вспомогательные переменные х4 ≥0, х5 ≥0, х6 ≥ 0 для исходной задачи и у1 ≥0, у5 ≥0, у6 ≥0 для двойственной задачи, модели задач преобразуем к канонической форме. При этом вспомогательные переменные примем за базисные. Соответствие между переменными задач будет следующее:
Решаем симплекс-методом двойственную задачу и получаем:
БП СБ АО у1 у2 у3 у4 у5 у6
1 1 1 0 0 0
у1 1 0,0133 1 0 0 0,0234 -0,0047 -0,0055
у2 1 0,0094 0 1 0 -0,0188 0,0438 -0,0156
у3 1 0,0098 0 0 1 0,0056 -0,0211 0,0254
0,0325 0 0 0 0,0102 0,0180 0,0043
Из таблицы следует, что оптимальный план двойственной задачи:
(0,0133;0,0094;0,0098;0;0;0). При этом
С учетом основной теоремы двойственности и соответствия между переменными оптимальный план прямой задачи запишется в виде
= (0,0102; 0,0180; 0,0043; 0; 0; 0); = 0,0325.
По формулам:
получим цену игры: и вероятности для оптимальных смешанных стратегий соответственно предприятий А и В.
Таким образом, оптимальными смешанными стратегиями предприятий А и В являются стратегии
соответственно при гарантированном получении предприятием А независимо от стратегий предприятия В прибыли не менее 30,77 тыс. руб. Убыток предприятия В при этом составит не более 30,77т.р.
Итак, из общей суммы средств а тыс. руб., выделяемых предприятием А на строительство трех объектов, на долю первого объекта должно выделяться 31,4%, второго – 55,4% и третьего – 13,2% этой суммы.
Аналогично распределяются средства в тыс. руб. предприятием В. Так, на долю первого объекта приходится 40,9%, второго – 28,9% и третьего – 30,2% общей суммы. Такое распределение денежных средств предприятиями А и В по трем строящимся объектам позволит им получить максимальную прибыль 30,77 тыс. руб.