Решение:
Приведем решение с полным выводом всех формул. Пусть Р, q и П — неизвестные цена, количество и прибыль:
П(Р, q) = R(P, q) - C(q),
где R — выручка, а С — производственные затраты.
R(P, q) = P-q,
C(q) = F + V(q) = F + vq,
где F, V — постоянные и переменные расходы,
v — удельные расходы (и = 10 тыс. руб./шт.).
Количество q ограничено спросом:
q < Dd(P) = D - d-P,
где D = 100 тыс. шт., a d = 1,4 тыс. шт./тыс. руб. = 1,4 шт./руб.
Итак, математически задача формулируется следующим образом:
П(Р, q) = P-q-vq-F-> max
при q < Dd(P) = D - d-P.
При цене (Р), большей, чем переменные издержки на единицу продукции (У), выгодно производить максимально возможное для продажи количество товаров, то есть ограничивающее неравенство превращается в равенство:
q = D - d-P,
и путем подстановки получаем:
- d-P2 + (D + d-v)-P - D-v - F -> max (по Р).
Максимум квадратичной формы с отрицательным коэффициентом при квадрате (-d) достигается в точке среднего арифметического корней:
Р( + Р2 D + d - v
цена: Р = Р1+Р2/2= D+d*v/2d= 40,714 тыс. руб.;
количество: q = D - d - v = 43 тыс. шт.,
где D = 100; d = 1,4; v = 10;
максимальная прибыль:
= (D-d*v)^2/4d-F= 1178 - 400 = 778 млн. руб.