Question

Сторон AB и CD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P. Найдите длину стороны AD если AB=12, BC=5, CD=6,CP=10.

Answer 1

Для решения задачи воспользуемся свойством вписанных углов: угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, соответствующего этой дуге.

Пусть угол APC равен α, а угол CPD равен β. Тогда угол APD равен α+β, а угол ABD равен 2α+β (так как это угол, опирающийся на дугу AD, которая вдвое больше дуги AC).

Из свойства суммы углов треугольника получаем:

2α+β + α+β + (180-2α-2β) = 180

Упрощая, получаем:

α+β = 90

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников ABP и BCP:

AB^2 - BP^2 = AP^2
BC^2 - BP^2 = CP^2

Подставляем известные значения:

144 - BP^2 = AP^2
25 - BP^2 = 100

Отсюда находим BP:

BP = 5

Теперь можем найти AD, используя теорему Пифагора для треугольников ADP и CDP:

AD^2 - DP^2 = AP^2
CD^2 - DP^2 = CP^2

Подставляем известные значения:

AD^2 - 25 = 144
36 - DP^2 = 100

Отсюда находим DP и AD:

DP = 2*sqrt(31)
AD = sqrt(169) = 13

Итак, длина стороны AD равна 13.