Question

Площадь осевого сечения усеченного конуса с радиусами 2 и 7 равна 108. Найдите длину образующей усеченного конуса.

Answer 1

Обозначим радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса как R1 и R2 соответственно, а длину образующей как l. Также заметим, что площадь осевого сечения можно выразить через радиусы и высоту усеченного конуса.

Из свойства подобных фигур можно записать соотношение между радиусами и длиной образующей:

l1 / R1 = l2 / R2

l = l1 + l2

Также из теоремы Пифагора можно выразить высоту усеченного конуса через радиусы и длину образующей:

h = √(l^2 - (R1 - R2)^2)

Известна площадь осевого сечения:

S = π(R1^2 + R1R2 + R2^2)

Тогда можно выразить высоту через радиусы и площадь:

h = 2S / (R1 + R2)

Подставляем выражение для высоты в формулу для длины образующей:

l = √(h^2 + (R1 - R2)^2) + √(h^2 + R2^2) + √(h^2 + R1^2)

Подставляем известные значения и решаем уравнение:

108 = π(2^2 + 2*7 + 7^2)

S = 99π

h = 2S / (2 + 7) = 18π / 3 = 6π

l = √((6π)^2 + (7 - 2)^2) + √((6π)^2 + 7^2) + √((6π)^2 + 2^2) ≈ 54,8

Ответ: длина образующей усеченного конуса равна примерно 54,8.