Question

Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковое ребро-10 см. Найдите площадь боковой поверхности

Answer 1

Решение
Площадь боковой поверхности равна Sбок = 3 * S(МАВ).
Высота МО опускается в точку пересечения медиан (биссектрис и высот) правильного треугольника АВС.
Треугольник МОС - прямоугольный (МО перпендикулярна АВС).
По теореме Пифагора: СО = √(МС² - MO²) = √(100 - 64) = √36 = 6 (см).
Медианы треугольника АВС пересекаются в отношении 2 : 1, значит, НО = 6 : 2 = 3 (см).
СН = 3 + 6 = 9 (см).
Пусть сторона треугольника АВС = а, тогда ВН = 1/2АВ = а/2.
Проведем расчет по теореме Пифагора:
а² - (a/2)² = CH².
(3а²)/4 = 81.
3а² = 324.
а² = 108.
а = √108 = 6√3 (см) - сторона треугольника АВС.
Треугольник АМН - прямоугольный (МН - высота треугольника АМН).
АН = 1/2АВ = 6√3/2 = 3√3 (см).
По теореме Пифагора проведем расчет:
МН = √(АМ² - AH²) = √(100 - 27) = √73 (cм).
S(МАВ) = 1/2 * МН * АВ = 1/2 * √73 * 6√3 = 3√219 (см²).
Sбок = 3 * 3√219 = 9√219 (см²).
Ответ 9√219 (см²).