Question

Две одинаковые звезды обращаются по круговым орбитам вокруг общего центра масс с периодом 100 лет, а расстояние между ними — 100 а. е. Найдите массу звёзд. (Указание: сравните звёздную систему с системой «Солнце — Земля».)

Answer 1

Сравнивая периоды обращения Ts, Tз и радиусы орбит Rs, Rз для Земли (индекс «з») и звёзд (индекс «s») и учитывая, что Rs = D/2, где D — расстояние между звёздами, получаем для отношения скорости движения звёзд и Земли:
Vs/Vз = (Rs/Ts)/(Rз/Tз) = 1/2.
Масса Солнца (M) связана с периодом обращения Земли соотношением для круговой скорости:
M = Vз^ 2Rз/G.
Каждая из звёзд движется с ускорением под действием силы притяжения второй звезды:
as = GMs/D^2, где D = 100 а. е. — расстояние между
звёздами. Приравнивая as к центростремительному ускорению aa = Vs
2/(D/2), получаем для массы каждой из звёзд:
Ms = 2Vs^ 2D/G.
Откуда для отношения масс Солнца и звёзд получаем:
Мs/M = 2(Vs/Vз)2D/Rз = 50.
Заметим, что звёзды с такой массой 50 M встречаются очень редко и быстро заканчивают свою жизнь взрывом Сверхновой.
Ответ: 50 M