Question

Пусть в равнобедренном треугольнике АВС точка М центр отрезка АС точки Е и F расположены соответственно на сторонах АВ и ВС причем АЕ не паралельна СF и уголл FМС равен углу МEF найдите угол АЕМ

Answer 1

Для решения этой задачи давайте введем несколько обозначений:
Пусть угол АМС = угол МАВ = α (так как треугольник равнобедренный),
угол FМС = угол МЕF = β (по условию).

Также обозначим угол САВ = γ. Тогда угол AЕМ = угол AEM = δ.

Из условия "угол FМС равен углу МEF" следует, что треугольник MEF равнобедренный, то есть ME = MF.

Рассмотрим треугольники AEM и CSM. У нас есть следующие соотношения углов:
1) угол AEM = угол ACM = α + δ (в сумме с углом AМС);
2) угол ЕAM = угол MCS = γ (дополнительные к углам АМС и МАВ);
3) угол EMA = угол CMS = β (по условию).

Итак, у нас получилось следующее:
α + δ + γ = α + β,
δ + γ = β.

Также из равенства сторон треугольников МЕF и МСF следует, что углы при основании равны:
угол FME = угол FMC,
β = α + δ.

Подставляем это равенство в уравнение δ + γ = β:
δ + γ = α + δ,
γ = α.

Таким образом, угол АЕМ равен углу γ, то есть угол САВ, что подтверждает равенство углов в равнобедренном треугольнике АВС.