Для нахождения угла β, при котором сила тяги будет наименьшей, мы можем воспользоваться принципом минимальной работы-энергии.
Сначала определим ускорение ящика по наклонной плоскости. Сила трения, действующая на ящик, равна μ * N, где N - нормальная реакция опоры. Поскольку ящик движется с постоянной скоростью, сумма всех сил по направлению наклонной плоскости должна быть равна 0.
Сумма сил по направлению наклонной плоскости:
ma = mg * sin(α) - T * sin(β) - μ * N
где m - масса ящика, g - ускорение свободного падения, α - угол наклона плоскости, T - сила тяги, β - угол между силой тяги и нормалью к наклонной плоскости, μ - коэффициент трения.
Нормальная реакция N равна mg * cos(α).
Поскольку ящик движется с постоянной скоростью, его ускорение равно 0. Таким образом, уравнение принимает вид:
mg * sin(α) - T * sin(β) - μ * mg * cos(α) = 0
Теперь нам нужно найти угол β, при котором сила тяги T будет минимальной. Для этого продифференцируем уравнение и приравняем производную к нулю:
d(T)/dβ = -mg * cos(β) * sin(β) = 0
cos(β) * sin(β) = 0
Из условия мы знаем, что угол β лежит в диапазоне от 0 до α. Так как sin(30°) * cos(30°) = 0.25, то угол β = 30° является точкой минимума для силы тяги T.
Теперь найдем значение силы тяги T:
T = mg * sin(α) + μ * mg * cos(α)
T = 20 кг * 9.8 м/с^2 * sin(30°) + 1 * 20 кг * 9.8 м/с^2 * cos(30°)
T = 98 Н * 0.5 + 196 Н * 0.866 ≈ 49 Н + 170 Н ≈ 219 Н
Таким образом, сила тяги будет наименьшей под углом β = 30° к наклонной плоскости и составит примерно 219 Н.