По истечению интервала времени в один год Земля возвращается в ту же точку своей орбиты. В ее окрестности находится точка афелия орбиты астероида, куда он также ежегодно возвращается. Следовательно, один год содержит натуральное число n орбитальных периодов астероида. Обозначив интервал времени в один год через T, получаем, что орбитальный период астероида составляет T/n. По III закону Кеплера получаем значение большой полуоси орбиты астероида:
a = a0 (1/n)^2/3.
Здесь a0 – радиус орбиты Земли и афелийное расстояние астероида. Тогда его перигелийное расстояние будет равно
p = 2a – a0 = a0 (2(1/n)^2/3 – 1).
Выясним, какие значения может принимать число n. Подстановка n = 1, очевидно, дает p = a0, что соответствует круговой орбите астероида, практически совпадающей с орбитой Земли.
Такая орбита не будет устойчивой, так как астероид будет постоянно находиться рядом с Землей. К тому же, это противоречит условию задачи. Если принять n=2 и орбитальный период астероида 0.5 года, то мы получаем значение перигелийного расстояния p: 0.26 а.е. Это и будет единственным ответом на задачу, так как для целых n>2 величина p окажется отрицательной.