Ответ: 4
Решение: Докажем вначале, что трёх делений не хватит. Всего отрезков с концами в пяти точках ровно 10. Значит, если нанести три деления, то каждая из длин от 1 до 10 должна получаться ровно один раз. Если какое-то из делений нанесено на нецелом расстоянии от левого конца, то найдутся отрезки нецелой длины, то есть не все длины от 1 до 10 могут быть получены. Значит, для каждого из делений возможны только девять вариантов. Итак, отрезок длины 9 можно получить лишь одним способом: нанесением деления на расстоянии 1 от одного из концов линейки. Без ограничения общности можно считать, что это деление нанесено на расстоянии 1 от левого конца, обозначим это деление за T. Как может быть получен отрезок длины 8? Снова учтём тот факт, что отрезков нецелой длины получиться не должно. Это значит, что отрезок длины 8 получается либо нанесением деления на расстоянии 2 от одного из концов, либо из двух делений, каждое из которых нанесено на расстоянии 1 от левого и правого концов линейки. Второй случай невозможен, так как образуются два одинаковых отрезка (длины 1). Если деление наносится на расстоянии 2 от левого края, то снова получаются два отрезка длины 1. Значит, остаётся лишь один вариант: деление наносится на расстоянии 2 от правого края. Обозначим это деление за S. Отрезок длины 3 не может быть получен при помощи концов линейки: получаются лишние отрезки длины 1 или 2. Значит третья точка N такова, что либо NT=3, либо NS=4 (в каждом из вариантов единственность следует из того, что N лежит на линейке). Обозначим левый конец линейки как A, правый --- как B. Если NT=3, то AN=NS=4, получаем противоречие. Если SN=3, то AN=NB=5, снова противоречие с фактом, что длины всех отрезков различны. Итак, мы доказали, что тремя делениями выполнить поставленную задачу нельзя.
Четырёх точек хватит, ибо их можно расположить так: AC=1, AD=4, AE=5, AF=8, где A --- левый конец отрезка