Question

По кругу записано n целых чисел, сумма которых равна 94. Известно, что любое число равно модулю разности двух следующих за ним чисел. Найдите все возможные значения n.

Answer 1

Решение. Из условия следует, что все записанные числа неотрицательны. Пусть а – наибольшее из этих чисел (если таких несколько, то выберем любое из них), а b, c, d, e – следующие за ним по кругу числа. Тогда а = |b – c|, что возможно, только если одно из чисел b или с равно а, а другое равно 0. Если b = a, c = 0, то из равенства b = |c – d| следует, что d = a. Из равенства с = |d – e|, следует, что е = а, и т.д. Если же b = 0, а с = а, то аналогично d = a, e = 0 и т.д. Таким образом, n делится на 3, n = 3m, и записанные числа таковы: a, a, 0, a, a, 0, …, a, a, 0. Их сумма равна 2ma. Из равенства 2ma = 94 следует, что ma = 47, т.е. m = 47, a = 1 или m = 1, a = 47, откуда n = 141 или n = 3.
Ответ: n = 3 или n = 141