Question

На основании AC треугольника ABC взята точка D. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABD и CBD, точками касания не могут делить отрезок BD на 3 равные части

Answer 1

Предположим противное. Пусть такое возможно, и одна окружность касается отрезков AB AD и BD в точках K, E и F соответственно, а вторая окружность — отрезков CB CD и BD в точках G, H и I соответственно. Без ограничения общности, будем считать, что точка I лежит между точками B и F (см. рисунок). Пусть BI = IF = F D = x. Тогда по свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, получаем BG = BI = x, BF = BK = 2x,
ID = DH = 2x и DF = DE = x. Отсюда BK = DH и DE = BG. Кроме того, AK = AE и CH = CG. Но тогда AB + BC = AK + KB + BG + GC = AE + DH + ED + CH = AC.
Противоречие с неравенством треугольника.
Ответ: это невозможно