Question

В турнире участвовало 49 шахматистов. В некоторый момент турнира было сыграно 83 партии, причём каждый участник сыграл либо три, либо четыре партии (и никто не играл друг с другом дважды). Могло ли оказаться так, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой?

Answer 1

Ответ: Нет.
Решение. Пусть к данному моменту х шахматистов сыграло по три партии, тогда 49–х сыграло по четыре. В каждой партии участвует два шахматиста, следовательно, всего было сыграно (3х+4(49–х)):2=83 партии. Отсюда х=30. Предположим, что шахматисты, сыгравшие по три партии, не играли между собой. Тогда все партии они провели с теми, кто сыграл по четыре партии. Таких игр будет 3×30=90>83 – противоречие