Question

Все натуральные числа раскрашены в два цвета: красный и синий. Известно, что если число A красное, то и число A + 6 тоже красное, а если число B синее, то и число B + 15 тоже синее. Может ли среди первых 2017 чисел быть ровно 1000 красных?

Answer 1

Ответ: Нет.
Решение. Докажем, что числа C и C + 3 всегда одного цвета при любом значении C. Предположим для этого, что число C — красное, а C + 3 — синее. Тогда с одной стороны, число C + 18 = (C + 3) + 15 должно быть синим, а с другой стороны, это же число C + 18 = ((C + 6) + 6) + 6 должно быть красным. Если же предположить, что число C — синее, а C + 3 — красное, то число C + 15 = ((C + 3) + 6) + 6 должно быть одновременно и синим и красным. Полученное в обоих случаях противоречие доказывает, что числа C и C + 3 всегда принадлежат одному классу. Из этого следует, что любой класс вычетов по модулю 3 является либо целиком красным, либо целиком синим.
Среди первых 2017 чисел каждый такой класс содержит 672 или 673 числа. Любой класс содержит меньше 1000 чисел, а любые два класса — больше 1000 чисел. Поэтому ровно 1000 красных чисел быть не может