Question

На олимпиаде m>1 школьников решали n>1 задач. Все школьники решили разное количество задач. Все задачи решены разным количеством школьников. Докажите. что один из школьников решил ровно одну задачу

Answer 1

Если нашёлся школьник, не решивший ни одной задачи, то не будем его рассматривать. Затем, если есть задача, не решённая ни одним из школьников, то не будем её рассматривать. По-прежнему все школьники решили разное количество задач, все задачи решены разным количеством школьников. Пусть осталось m' школьников и n' задач. Тогда m' ≥ 1, n' ≥ 1. Если каждый из m' школьников решил от 2 до n' задач и все решили разное количество задач, то m' ≤ n' - 1. Так как каждая из n' задач решена от 1 до m' школьниками, и все задачи решены разным количеством школьников, то n' ≤ m'. Противоречие, значит требуемый школьник найдётся