Question

Есть 7 неотличимых на вид гирь. Борис знает массу каждой гири, а Аркадий знает лишь, что данный набор гирь содержит все целые массы от 1 до 7 граммов. Как при помощи не более чем трёх взвешиваний на чашечных весах Борис может подтвердить для Аркадия вес каждой гири?

Answer 1

Решение. Будем обозначать через am гирю с массой m, и саму эту массу. Борис может провести, например, три следующих взвешивания: a1 +a2 +a3 < a7, a2 +a3 > a4, a1 + a6 > a2 + a4.
Докажем, что этих взвешиваний хватит. Суммарная масса трёх гирь не меньше 1 + 2 + 3 = 6, поэтому продемонстрированное Борисом неравенство a1 + a2 + a3 < a7 будет означать, что a7 = 7, и {a1, a2, a3} = {1, 2, 3} (но мы не знаем, какая из гирь a1, a2 и a3 отвечает массам 1, 2 и 3). Суммарная масса двух гирь из набора {1, 2, 3} не больше 2 + 3 = 5, и так как a4 > 4, то второе взвешивание подтверждает, что a4 = 4, a1 = 1.
Осталось различить гири a2 и a3, a5 и a6. a1 + a6 не больше 1 + 6 = 7, a2 + a4 не меньше 2+4 = 6. Последнее взвешивание подтверждает, что a1+a6 = 7 и a2+a4 = 6, значит подтверждает, что a6 = 6 и a2 = 2.