Question

Бригада рабочих делает ремонт в квартире. Чтобы не испортить пол в комнате (клетчатый квадрат размером 4х4), они расстелили 13 двухклеточных ковриков по линиям сетки. Внезапно оказалось, что один коврик понадобился в другой комнате. Докажите, что рабочие смогут его выбрать так, чтобы ремонт в квартире можно было продолжать, не испортив пол.

Answer 1

Предположим, что убрать коврик, не оголив куска пола, нельзя. Тогда под каждым ковриком должна быть клетка, покрытая только один раз (иначе, коврик, под которым каждая клетка покрыта хотя бы дважды, можно забрать). Значит, клеток, покрытых в один слой, не меньше, чем 13. Тогда клеток, покрытых хотя бы в два слоя, не больше, чем 16 –13 = 3. Заметим, что любую клетку можно накрыть двухклеточными ковриками не более, чем четырьмя различными способами. Таким образом, все коврики в сумме накрывают не больше, чем 13*1 + 3*4 = 25 клеток. Это противоречит тому, что 13 ковриков должны в сумме накрывать 2*13 = 26 клеток. Следовательно, один коврик можно убрать