Question

Каждая из точек плоскости покрашена в один из трех цветов, причем все три цвета используются. Верно ли, что при любой такой покраске можно выбрать окружность, на которой есть точки всех трех цветов?

Answer 1

Ответ. Верно.
Предположим, что нельзя выбрать окружность, на которой есть точки всех трех цветов. Выберем точку А первого цвета и точку В второго цвета и проведем через них прямую l. Если вне прямой l найдется точка С третьего цвета, то на окружности, описанной около треугольника ABC, найдутся точки всех трех цветов (например, А, В и С). Значит, вне прямой l нет точек третьего цвета. Но раз хотя бы одна точка плоскости покрашена в третий цвет, то эта точка (назовем ее D) лежит на прямой l . Если теперь рассмотреть точки А и D, то аналогично можно показать, что вне прямой lI нет точек второго цвета. Рассмотрев точки В и D, можно показать, что вне прямой l нет точек первого цвета. То есть вне прямой l нет покрашенных точек. Получили противоречие с условием. Значит, можно выбрать окружность, на которой есть точки всех трех цветов.