Question

Пусть a, b, c — три натуральных числа. На доску выписали три произведения ab, ac, bc, и у каждого из них стёрли все цифры, кроме двух последних. Могло ли случиться, что в результате получились три последовательных двузначных числа?

Answer 1

Ответ. Не могло.
Решение. Предположим противное: произведения ab, bc и ca оканчиваются, соответственно, двузначными числами n, n+1 и n+2. Среди этих трёх последовательных чисел обязательно найдется нечётное, значит, произведение каких-то двух из чисел a, b и c нечётно. Это означает, что по крайней мере два из чисел a, b и c нечётны. Но тогда третье число чётно, иначе все три произведения ab, bc, ca были бы нечётными, что невозможно.
Итак, среди произведений одно нечётное и два чётных числа, то есть число n чётно. Тогда число a чётно, а числа b и c нечётны. Теперь, если a делится на 4, то оба числа n и n+2 должны делиться на 4. Если же a не делится на 4, то числа n и n+2 также не делятся на 4. Однако из двух последовательных чисел n и n+2 одно обязательно делится на 4, а другое — нет. Противоречие