Question

На доске были записаны числа 3, 9 и 15. Разрешалось сложить два записанных числа, вычесть из этой суммы третье, а результат записать на доску вместо того числа, которое вычиталось. После многократного выполнения такой операции на доске оказались три числа, наименьшее из которых было 2013. Каковы были два остальных числа?

Answer 1

Ответ: 2019 и 2025.
Решение. Заметим, что 9 − 3 = 6 и 15 − 9 = 6. Покажем, что в любой момент одно из чисел на доске будет на 6 меньше второго и на 6 больше третьего.
Действительно, пусть это свойство выполнено, и на доске записаны числа x − 6, x и x + 6. Если сложить два крайних числа и вычесть среднее, то тройка чисел не изменится. Если сложить первых два числа и вычесть третье, то получится тройка x−6, x и x−12, а если сложить два последних числа и вычесть первое, то получится тройка x + 12, x и x + 6. Во всех случаях указанное свойство сохраняется, поэтому оно будет выполняться после каждого шага. Значит, искомые числа: 2013 + 6 = 2019 и 2019 + 6 = 2025