Question

Играют двое. Вначале игры есть одна палочка. Игроки по очереди ломают на две части любую палочку из имеющихся к данному моменту. Если, сломав палочку, игрок может сложить из всех имеющихся палочек один (если их 3) или несколько отдельных треугольников (каждый – ровно из трёх палочек), то он выиграл. Кто из игроков (первый или второй) может обеспечить себе победу независимо от действий другого игрока?

Answer 1

Ответ: Выигрывает первый игрок.
Решение
Заметим вначале, что выигрыш возможен только после хода, после которого общее число палочек делится на 3. Пусть первого игрока зовут Петя, а второго – Вася. Тогда в первый раз выигрыш возможен после первого хода Васи, в следующий раз – после третьего хода Пети. Первым ходом Петя должен сломать палочку пополам. Как бы ни поделил одну из половинок Вася, треугольник из получившихся трёх палочек сложить нельзя, так как не выполняется неравенство треугольника (у нас одна из сторон равна сумме двух других). Итак, после первого хода Пети образовалось две одинаковые "кучки" из одной палочки. Своим вторым и третьим ходом Петя должен "повторить ход" Васи на симметричной кучке.
Таким образом, после третьего хода Пети перед ним лежат палочки с длинами a , b , c , a , b , c . Пусть a > b > c. Составим два равнобедренных треугольника: первый со сторонами a , a , c и второй со сторонами b , b , c