Ответ: количество гномов могло быть любым, кратным 4.
Решение. Если по какому-либо вопросу гномы проголосовали единогласно, то после этого они всегда будут голосовать точно так же. Поэтому вопрос о драконе обсуждался раньше, чем вопрос о золоте.
Возможно, что перед вопросом о золоте гномы уже несколько раз единогласно голосовали «за». Рассмотрим последний вопрос, по которому был несогласный гном (а такой точно был, что следует из условия про Торина). Пусть этот гном голосовал «против». Для того, чтобы его соседи в следующий раз проголосовали «за», гномы, сидящие от него через одного, должны были воздержаться.
Аналогично, гномы, сидящие от них через одного, должны были голосовать «против», и так далее.
Получаем цепочку …П?В?П?В?…, где «П» и «В» обозначают голосовавших «против» и воздержавшихся, а знаки вопроса — гномов, мнение которых нас не интересует. В случае, если несогласный гном воздержался, получаем такую же цепочку Если количество гномов — четное, то цепочка должна замкнуться, а это значит, что в ней одинаковое количество «В» и «П». Тогда количество гномов, обозначенных «В» и «П», четно, а количество всех гномов — вдвое больше.
Если же количество гномов — нечетное, то расставив по кругу «В» и «П», мы продолжим их ставить вместо знаков вопроса, то есть гномы расположатся по кругу парами: …ВВППВВПП…, что противоречит тому, что их количество нечетно. Осталось показать на примере, что любое количество гномов, кратное 4, удовлетворяет условию задачи. Для этого, пусть они сначала проголосуют про дракона так: …ВВППВВПП… (один из «В» — это Торин), а потом про золото единогласно «за»