Question

В пяти пакетах лежат конфеты. При этом в разных пакетах разное число конфет, а всего конфет - 21.  Известно, что конфеты из любых двух пакетов можно разложить в три оставшихся пакета так, что в этих трёх пакетах конфет станет поровну. Докажите, что имеется пакет, в котором ровно 7 конфет

Answer 1

Предположим, есть пакет A, в котором 8 или больше конфет. Тогда по условию конфеты из других пакетов D, E можно разложить в пакеты A, B, C так, чтобы конфет в них стало поровну. Так как конфет в A при этом не убавилось, то в каждом пакете конфет не меньше 8, то есть в сумме не меньше 24 конфет. Но их только 21. Противоречие, значит во всех пакетах конфет не больше 7.
Пусть пакета с 7 конфетами нет. Тогда их везде не больше 6. Но тогда в 5 пакетах максимум 6+5+4+3+2=20 конфет. Опять противоречие, значит, пакет с 7 конфетами точно есть