Question

Андрей задумал 4 целых числа и сообщил Ване все их попарные суммы. Ваня точно запомнил только 4 из них: 0, 3, 6 и 18. Про две оставшиеся суммы Ваня запомнил только то, что они были двузначными натуральными числами. Какие числа задумал Андрей?

Answer 1

Ответ. –6; 6; 9; 12.
Решение. Пусть были задуманы числа (в порядке возрастания) a; b; c; d. Учитывая, что две оставшиеся суммы – двузначные, минимальными суммами являются 0, 3 и 6. Значит, a+b=0; a+c=3, а также a+d=6 или b+c=6. Из первых двух уравнений находим b=–a; c=3–a. Получаем b+c = –a+3–a = 3–2a. Поскольку a – целое, b+c нечетно, то есть не может быть равно 6, значит a+d=6 и d = 6–a.
Из трех оставшихся сумм (b+c, b+d, c+d) одна должна быть равна 18.
b+c = 3–2a – нечетно
b+d = –a+6–a = 6–2a – четно
c+d = 3–a+6–a = 9–2a – нечетно
Из трех сумм только одна четна, значит b+d = 6–2a = 18, откуда a=–6.
Проверкой несложно убедиться, что две оставшиеся суммы действительно являются двузначными.