Ответ: 25 клеток.
Решение. Пусть Вова каждым своим ходом делает белым ряд с наибольшим количеством чёрных клеток. Тогда, как только Боря добьётся ряда из не менее чем четырёх чёрных клеток (такой ряд будем называть «богатым»), Вова будет удалять минимум четыре клетки, значит, следующим ходом Боря не сможет увеличить количество чёрных клеток в сравнении со своим предыдущим ходом. И далее при наличии богатых рядов Вова удаляет минимум 4 чёрных клетки, а Боря после этого добавляет четыре, значит, увеличить свой максимальный результат не сможет. При этом перед первым и всеми последующими моментами создания богатого ряда при их отсутствии на доске была максимум 7⋅3=21 чёрная клетка − семь рядов по 3 чёрных клетки, т.к. только что Вова сделал белым ряд этого направления. Таким образом, Боря всегда создаёт конструкцию с максимум 25 чёрными клетками. Покажем теперь, что Боря всегда может добиться 25-ти чёрных клеток. Выделим на доске 24 клетки так, как показано на рисунке, − по три в каждом вертикальном и горизонтальном ряду. Пусть Боря закрашивает всегда только клетки этого множества, пока среди них есть белые клетки. Тогда Вова очередным ходом сможет удалить максимум три чёрные клетки, значит, количество чёрных клеток после каждой пары их ходов будет увеличиваться хотя бы на 1.
Значит, в некоторый момент Боря сможет сделать чёрными все эти клетки (и ещё, возможно, какие-то). Тогда после хода Вовы останется не менее 21- ой чёрной клетки, а Боря своим следующим ходом добьётся минимум 25-ти чёрных клеток. Значит, при правильной игре обоих максимальное количество чёрных клеток на доске, появление которого может обеспечить Боря, равно 25