Question

На клетчатой доске 10х20 несколько клеток покрашено в красный цвет. Костя разрезал доску по клеточкам на прямоугольники так, что в каждом оказалось 5 красных клеток. А Влад разрезал такую же доску на прямоугольники так, что в каждом оказалось 7 красных клеток. Докажите, что Дима не сможет разрезать такую же доску на прямоугольники так, что в каждом будет 6 красных клеток

Answer 1

Обозначим через n общее число красных клеток. Если k − число Костиных прямоугольников, то n = 5k. Значит, n делится на 5. Аналогично, n делится на 7. Если бы Костя смог разрезать доску на прямоугольники с 6 красными клетками, то n делилось бы еще на 6. Так как числа 5,6,7 попарно взаимно простые, то n делилось бы на их произведение 5*6*7 = 210. Поэтому n > 210. Но в данной доске всего 200 клеток.